A csúszka (szlider bar) a felhasználótól egy x pozíciót kap, az alkalmazás viszont egy egészen más tartományú y értékre van szüksége. Az átviteli függvény köti össze a kettőt. Ez az oldal az L0 lineáris csúszkát és három app oldali leképezését (közvetlen átvétel, ln, exp) mutatja meg példákkal.
Az egyszerű lineáris csúszka az \(x \in [0,1]\) pozíciót egyenletesen képezi le az \([y_{\min,L_0},\, y_{\max,L_0}]\) intervallumra:
Az \(L_0\) csúszka paraméterei (átírhatók, az oldal azonnal újraszámol):
Behelyettesítve:
Speciális eset: \(y_{\min}=0\) és \(y_{\max}=1\) esetén \(y_{L_0}=f_{L_0}(x)=x\), vagyis a csúszka pozíciója közvetlenül a kimenet.
A csúszka kimenetét, az \(y_{L_0}\) értéket az app nem feltétlenül használja közvetlenül, hanem még egy függvényen átengedheti:
Ez a függvény az app oldalon van, a csúszka működését nem érinti: az \(L_0\) minden esetben ugyanaz a lineáris csúszka. Három leképezést nézünk meg:
| App oldali leképezés | \(f_{L_0,app}\) | \(y_{L_0,app}\) | Tartomány (\(x\in[0,1]\)) |
|---|---|---|---|
| közvetlen átvétel | \(\mathrm{id}\) | \(y_{L_0}\) | – |
| ln-leképezés | \(\ln\) | \(\ln(y_{L_0})\) | – |
| exp-leképezés | \(\exp\) | \(e^{\,y_{L_0}}\) | – |
A logaritmus csak pozitív \(y_{L_0}\)-ra értelmezett, ezért kell \(y_{\min,L_0}>0\). A három leképezés ugyanarra az x pozícióra az alábbi kártyákon látható, a görbén a pont az aktuális állást jelöli.
Az app változatlanul veszi át a csúszka kimenetét, tehát x egyenletes mozgatása egyenletes változást ad az app oldalon is.
A logaritmus a kis \(y_{L_0}\) értékeknél gyorsan, a nagyoknál lassan változik, és \(y_{L_0}<1\) esetén negatív. A csúszka elején tehát finom, a végén durva a „felbontás”: a nagy értékeket összenyomja.
Az exponenciális épp fordítva viselkedik: a csúszka elején alig változik az érték, a vége felé hirtelen megugrik (a csúszka végén ). Hasznos, ha nagyságrendeken át kell változtatni az értéket.
Ez a leképezés adja a hétköznapi „logaritmikus csúszkát” (hangerő, frekvencia), bár a számolás exponenciális függvénnyel történik: a csúszka egyenlő lépéseihez az érték egyenlő szorzása tartozik. Részletesen lásd a 7. pontban.
Logaritmikus csúszka = exp-leképezés. A név arra utal, hogy a csúszka kimenete az app oldali érték logaritmusa (\(\ln(y_{L_0,app})=y_{L_0}\)). Az érték kiszámolása viszont exponenciális függvénnyel történik: \(y_{L_0,app}=e^{\,y_{L_0}}\). A „logaritmikus” tehát a skála jellegét írja le, a függvény, amivel számolunk, az exp.
Hangerőszabályzónál, frekvenciánál, zoomnál „logaritmikus csúszkát” szoktak használni. Hogy mit jelent, azt a lineáris csúszkával összevetve a legkönnyebb látni:
Miért kell ez? A fülünk az arányokat érzékeli, nem a különbségeket. A 100 Hz → 200 Hz ugyanakkora zenei ugrás (egy oktáv), mint az 1000 Hz → 2000 Hz, pedig az első különbsége 100, a második 1000 Hz. Egy 20–20 000 Hz-es lineáris csúszka elején a mély hangok alig lennének finoman állíthatók. Logaritmikus csúszkánál minden oktáv ugyanannyi csúszkahosszat kap.
Mi köze ennek a logaritmushoz? Az „egyenlő lépés → egyenlő szorzás” azt jelenti, hogy az érték logaritmusa egyenlő lépésekben nő, vagyis lineárisan. A 100 → 200 → 400 → 800 sorozaton különböző alapokkal:
| érték | \(\log_2\) | \(\log_{10}\) | \(\ln\) |
|---|---|---|---|
| 100 | 6,644 | 2,000 | 4,605 |
| 200 | 7,644 | 2,301 | 5,298 |
| 400 | 8,644 | 2,602 | 5,991 |
| 800 | 9,644 | 2,903 | 6,685 |
| lépésenként | +1 | +0,301 | +0,693 |
Melyik logaritmus? Bármelyik: mindhárom oszlopban egyenletesen nő a szám, csak a lépés nagysága más, mert az alap megváltoztatása egy konstanssal szorozza a logaritmust. A skála attól még logaritmikus. Az oldalon a természetes logaritmus (\(\ln\), alapja \(e\)) szerepel, mert az exp-leképezés \(e^{y}\)-t használ.
Nálunk (a 2. pontban beállított határokkal) a csúszka kimenete maga a logaritmus:
| \(x\) | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 |
|---|
Minden lépésnél ugyanaz a szorzó, nem ugyanaz az összeg. Az exp-leképezés tehát visszafelé számol: a csúszka az \(\ln\)-értéket adja, az exp ebből állítja elő az értéket.
Más alappal, gyakorlati példa: egy 20–20 000 Hz-es frekvenciacsúszkánál kényelmes a \(\log_{10}\), mert 3 nagyságrendet fog át:
Ugyanaz a szerkezet, mint nálunk, csak a határok és az alap mások.
Az ln-leképezés ennek a fordítottja, ezért az nem „logaritmikus csúszka” a hétköznapi értelemben: az összenyomja a nagy értékeket. A két név (logaritmikus csúszka, ln-leképezés) könnyen összekeverhető, érdemes figyelni rá.
Néhány pozíció kiszámolva. Az aktuálisan beállított x-hez tartozó sor kiemelt.
| \(x\) | \(y_{L_0}\) (közvetlen átvétel) | \(\ln(y_{L_0})\) (ln-leképezés) | \(e^{y_{L_0}}\) (exp-leképezés) |
|---|
Számolt példa az aktuális x-re: