Gömbszimmetrikus Föld modell: a gravitációs gyorsulás tere

A gravitációs gyorsulás a Föld belsejében és a Föld körül a középponttól mért távolság függvényében, integrálással levezetve, logaritmikus csúszkával (a Föld belsejétől a Nap távolságáig).

A modell és az eredmény

A Föld gömbszimmetrikus: a sűrűsége csak a középponttól mért távolságtól függ. A szimulációban egyenletes sűrűségű, tömör gömbnek tekintjük. A mérési pont (P) a Föld középpontjától (O) \(r\) távolságra van. A gravitációs gyorsulás a Föld középpontja felé mutat, nagysága (a levezetés alább):

\[ g(r)= \begin{cases} G\,\dfrac{M\,r}{R^3}, & r\le R\\[2mm] G\,\dfrac{M}{r^2}, & r\ge R \end{cases} \]

\(r\) – a mérési pont távolsága a Föld középpontjától, mértékegysége: \(\mathrm{m}\)
\(R\) – a Föld sugara, \(R=6{,}371\cdot10^{6}\,\mathrm{m}\)
\(M\) – a Föld tömege, \(M=5{,}974\cdot10^{24}\,\mathrm{kg}\)
\(\rho\) – a Föld átlagsűrűsége, \(\rho=\frac{3M}{4\pi R^3}\approx5{,}515\cdot10^{3}\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}\). A szimulációban állandó.
\(g(r)\) – a gravitációs gyorsulás a mérési pontban, mértékegysége: \(\mathrm{\frac{m}{s^2}}\)
\(G\) – gravitációs állandó, \(G \approx 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{N\,m^2}{kg^2}}\)

Modell: a Földön kívül a gömbszimmetrikus Föld úgy hat, mintha a teljes tömege a középpontjában lenne. A Föld belsejében csak a mérési pont sugarú gömbön belüli tömeg számít. A valódi Föld sűrűsége nem egyenletes, ezért belül a valódi \(g(r)\) eltér a lineáris függvénytől (a mag–köpeny határon kb. \(10{,}7\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\) körüli maximum van). A felszínen és kívül a gömbszimmetria miatt a képlet pontos.

Levezetés integrálással

Newton törvénye (\(a=G\,\frac{m}{r^2}\)) pontszerű tömegre szól. A Föld sok tömegelemből áll, ezért az összes tömegelem gravitációs gyorsulását összegezzük (integráljuk). Három lépésben haladunk: gyűrű → gömbhéj → tömör gömb. A mérési pontot (P) és a Föld középpontját (O) összekötő egyenes a tengely.

Jelölések ebben a részben:

\(q\) – a gömbhéj sugara, \(\mathrm{d}q\) – a gömbhéj vastagsága (nagyon kis távolság), mértékegységük: \(\mathrm{m}\)
\(\sigma=\rho\,\mathrm{d}q\) – a gömbhéj felületi sűrűsége, mértékegysége: \(\mathrm{\frac{kg}{m^2}}\)
\(\theta\) – a gyűrű helyét megadó szög: az O-ból a gyűrűhöz húzott sugár és a tengely szöge
\(s\) – a gyűrű egy elemének távolsága a mérési ponttól (P-től), mértékegysége: \(\mathrm{m}\)
\(\varphi\) – a P-ből a gyűrűelemhez húzott egyenes és a tengely szöge
\(\mathrm{d}m_{\mathrm{gyűrű}}\) – a gyűrű tömege, mértékegysége: \(\mathrm{kg}\)
\(\mathrm{d}g_{\mathrm{gyűrű}}\) – a gyűrű által P-ben okozott, a tengely irányú gravitációs gyorsulás, mértékegysége: \(\mathrm{\frac{m}{s^2}}\)
\(g_{\mathrm{héj}}\) – a teljes gömbhéj által P-ben okozott gravitációs gyorsulás, mértékegysége: \(\mathrm{\frac{m}{s^2}}\)
\(M_{\mathrm{héj}}=4\pi q^2\sigma\) – a gömbhéj tömege, mértékegysége: \(\mathrm{kg}\)

1. lépés: egy gyűrű. A gömbhéjat a tengelyre merőleges gyűrűkre bontjuk (1. ábra). A \(\theta\) szögnél lévő gyűrű sugara \(q\sin\theta\), kerülete \(2\pi q\sin\theta\), szélessége \(q\,\mathrm{d}\theta\), így a tömege:

\[ \mathrm{d}m_{\mathrm{gyűrű}}=\sigma\cdot2\pi q\sin\theta\cdot q\,\mathrm{d}\theta=2\pi\sigma q^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta \]

1. ábra. A gömbhéj (sugara \(q\)) egy gyűrűje oldalnézetben. A gyűrű egy elemének távolsága P-től \(s\), a hatása a gyűrűelem felé mutat. A tengely irányú összetevő \(\cos\varphi\) szorosa, a merőleges összetevő a szemközti gyűrűelemével kioltódik.

A P-től a gyűrű bármely eleme ugyanakkora, \(s\) távolságra van. Az OPR háromszögben a koszinusztétel és a \(\varphi\) szög koszinusza:

\[ s^2=r^2+q^2-2rq\cos\theta,\qquad \cos\varphi=\frac{r-q\cos\theta}{s} \]

A gyűrű hatása \(G\,\frac{\mathrm{d}m_{\mathrm{gyűrű}}}{s^2}\), de csak a tengely irányú összetevője számít (\(\cos\varphi\) szorosa):

\[ \mathrm{d}g_{\mathrm{gyűrű}}=G\,\frac{\mathrm{d}m_{\mathrm{gyűrű}}}{s^2}\cdot\cos\varphi=G\,\frac{2\pi\sigma q^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta}{s^2}\cdot\frac{r-q\cos\theta}{s} \]

2. lépés: a gömbhéj. A gyűrűket \(\theta=0\)-tól \(\theta=\pi\)-ig összegezzük:

\[ g_{\mathrm{héj}}=\int_{0}^{\pi}2\pi G\sigma q^2\,\frac{(r-q\cos\theta)\sin\theta}{\left(r^2+q^2-2rq\cos\theta\right)^{3/2}}\,\mathrm{d}\theta \]

Az integrált az \(s\) távolságra váltva egyszerűsíthetjük. A koszinusztételből:

\[ 2s\,\mathrm{d}s=2rq\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\ \Rightarrow\ \sin\theta\,\mathrm{d}\theta=\frac{s\,\mathrm{d}s}{rq},\qquad r-q\cos\theta=\frac{r^2-q^2+s^2}{2r} \]

A határok: \(\theta=0\)-nál \(s=|r-q|\), \(\theta=\pi\)-nél \(s=r+q\) (2. ábra). Behelyettesítve és egyszerűsítve:

\[ g_{\mathrm{héj}}=\frac{\pi G\sigma q}{r^2}\int_{|r-q|}^{\,r+q}\left(1+\frac{r^2-q^2}{s^2}\right)\mathrm{d}s =\frac{\pi G\sigma q}{r^2}\left[\,s-\frac{r^2-q^2}{s}\,\right]_{|r-q|}^{\,r+q} \]

2. ábra. Az \(s\) határai. A héjon kívüli P-nél \(s\) az \(r-q\)-tól az \(r+q\)-ig, a héjon belüli P-nél a \(q-r\)-től a \(q+r\)-ig fut. A \(\theta=0\) pont van P-hez legközelebb, a \(\theta=\pi\) pont legtávolabb.

Két eset lehetséges (a primitív függvény \(s-\frac{r^2-q^2}{s}\)):

A mérési pont a héjon kívül van (\(r\gt q\)): \(s\) az \(r-q\)-tól az \(r+q\)-ig fut.
\[ \left[\,s-\frac{r^2-q^2}{s}\,\right]_{r-q}^{r+q}=\bigl[(r+q)-(r-q)\bigr]-\bigl[(r-q)-(r+q)\bigr]=2q+2q=4q \] \[ g_{\mathrm{héj}}=\frac{\pi G\sigma q}{r^2}\cdot4q=G\,\frac{4\pi q^2\sigma}{r^2}=G\,\frac{M_{\mathrm{héj}}}{r^2} \]
A gömbhéj kívül úgy hat, mintha a teljes tömege a középpontjában lenne.
A mérési pont a héjon belül van (\(r\lt q\)): \(s\) a \(q-r\)-től a \(q+r\)-ig fut.
\[ \left[\,s-\frac{r^2-q^2}{s}\,\right]_{q-r}^{q+r}=\bigl[(q+r)+(q-r)\bigr]-\bigl[(q-r)+(q+r)\bigr]=2q-2q=0 \] \[ g_{\mathrm{héj}}=0 \]
A gömbhéj belsejében a gravitációs gyorsulás nulla: a két oldal hatása kiegyenlíti egymást.

3. lépés: a tömör gömb. A tömör gömböt \(q=0\)-tól \(q=R\)-ig tartó gömbhéjakra bontjuk (3. ábra). Egy héj felületi sűrűsége \(\sigma=\rho\,\mathrm{d}q\), tömege \(\mathrm{d}M=4\pi\rho q^2\,\mathrm{d}q\). A héjak hatását összegezzük:

\[ g(r)=\int_{0}^{R}g_{\mathrm{héj}}(r,q) \]

3. ábra. A tömör gömb gömbhéjak összege. A sárga rész az a tömeg, amelynek a hatása számít. A Földön belüli P-nél az \(r\) sugarú gömb héjai hatnak, a külső héjak eredője nulla. A Földön kívüli P-nél minden héj hat.

Kívül (\(r\ge R\)): minden héjra \(q\le R\le r\), így mindegyik \(G\,\frac{\mathrm{d}M}{r^2}\)-t ad:
\[ g(r)=\int_{0}^{R}G\,\frac{4\pi\rho q^2}{r^2}\,\mathrm{d}q=\frac{G\rho\,4\pi}{r^2}\left[\frac{q^3}{3}\right]_0^{R}=G\,\frac{\frac{4}{3}\pi R^3\rho}{r^2}=G\,\frac{M}{r^2} \]
Belül (\(r\le R\)): a \(q\lt r\) héjak (a mérési pont kívül van rajtuk) \(G\,\frac{\mathrm{d}M}{r^2}\)-t adnak, a \(q\gt r\) héjak (a mérési pont belül van rajtuk) nullát:
\[ g(r)=\int_{0}^{r}G\,\frac{4\pi\rho q^2}{r^2}\,\mathrm{d}q+\int_{r}^{R}0\,\mathrm{d}q=\frac{G\rho\,4\pi}{r^2}\cdot\frac{r^3}{3}=\frac{4\pi}{3}G\rho\,r=G\,\frac{M\,r}{R^3} \]
Az utolsó lépésben a \(\rho=\frac{3M}{4\pi R^3}\) összefüggést használtuk.

Ellenőrzés és következmények:

A felszínen (\(r=R\)) mindkét ág ugyanazt adja: \(g(R)=G\,\frac{M}{R^2}\approx9{,}82\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\). A függvény folytonos.
A középpontban (\(r=0\)) a gravitációs gyorsulás nulla. Nincs szingularitás: a belső gömb tömege \(r^3\)-nel csökken, ez ellensúlyozza az \(1/r^2\)-et, így a belsejében \(g\sim r\).
A maximum a felszínen van: belül \(g\) lineárisan nő, kívül \(1/r^2\) szerint csökken.
A levezetés a gömbhéjakra bármilyen \(\rho(q)\) sűrűségnél igaz, ezért a kívüli eredmény (\(G\,\frac{M}{r^2}\)) minden gömbszimmetrikus testre pontos. Belül általánosan \(g(r)=G\,\frac{M(r)}{r^2}\), ahol \(M(r)\) az \(r\) sugarú gömbön belüli tömeg. Egyenletes sűrűségnél \(M(r)=M\,\frac{r^3}{R^3}\).

Szimuláció

Szemléltető ábra: a Föld sugara a Földön kívüli távolságokhoz képest nincs méretarányban, a Földön kívül a távolság logaritmikus. A Földön belül a mérési pont (kis fekete gömb, P) helye az \(r/R\) aránnyal arányos. A sárga rész az \(r\) sugarú gömb, amelynek a tömege számít (a külső héjak eredője nulla). A piros nyíl a mérési pontból a Föld középpontja (O) felé mutat, ez a gravitációs gyorsulás iránya. Hossza a gravitációs gyorsulás logaritmusával nő: a legkisebb értéknél csak a nyílhegy látszik, a felszínen (alapérték, a legnagyobb érték) kb. félig ér el a középpontig, és ha elérné a középpontot, tovább nem nő. A középpont közelében (a nyílhegy hosszánál kisebb távolságra) a nyíl nem látszik.

Súgó: számok beírása és beillesztése

Beillesztés: a 6,371·106 alakú szöveget a csúszka melletti Mantissza mezőbe (vagy a Kitevő mezőbe is) beillesztve a mantissza és a kitevő magától kitöltődik, a csúszka pedig beáll.
Más írásmódok: felismeri a 6,371·10^6, 6,371e6, 1,5·10−3 és a negatív kitevős alakokat is. A számjegyek közötti szóközt és a mértékegységet figyelmen kívül hagyja, tehát egy egész kimásolt táblázatsor is beilleszthető (pl. A Föld sugara 6,371·106 m).
Beírás: ha a teljes alakot begépeled a Mantissza mezőbe, és kilépsz a mezőből (Tab vagy Enter), ugyanúgy szétválasztja.
Tizedesjel: a Mantissza mezőben vessző a tizedesjel, de a tizedespontot is elfogadja.
Határon kívüli érték: a csúszka tartományánál kisebb vagy nagyobb számot is elfogad, a csúszka ilyenkor a szélén áll meg (a kitevő -100 és 100 között lehet).

A gravitációs gyorsulás tere

A \(g(r)\) függvény kétszeresen logaritmikus tengelyeken. Belül \(g\sim r\) (a Föld középpontjától a felszínig nő), kívül \(g\sim1/r^2\). A piros pont a csúszkával beállított helyet mutatja.

Eredmény

Mentett hivatkozás (URL)

A hivatkozás az aktuális beállítást tartalmazza (r, m egységben); megnyitáskor ugyanez az érték töltődik be.

Adatok

\[ \begin{array}{l r l} \hline \text{Mennyiség} & \text{Érték} & \text{Mértékegység}\\ \hline \text{A Föld tömege} & 5{,}974\cdot 10^{24} & \mathrm{kg}\\ \text{A Föld sugara} & 6{,}371\cdot 10^{6} & \mathrm{m}\\ \text{A Föld átlagsűrűsége } \left(\frac{3M}{4\pi R^3}\right) & 5{,}515\cdot 10^{3} & \mathrm{kg/m^3}\\ \text{Föld--Nap távolság} & 1{,}496\cdot 10^{11} & \mathrm{m}\\ \hline \end{array} \]

Kijelölhető HTML-táblázat

A csúszka tartománya

\[ \begin{array}{l l l l} \hline & \text{Minimum} & \text{Kezdőérték (középen)} & \text{Maximum}\\ \hline r & 1\ \mathrm{m} & \text{a Föld sugara (a felszín): } 6{,}371\cdot10^{6}\ \mathrm{m} & \text{a Föld--Nap távolság: } 1{,}496\cdot10^{11}\ \mathrm{m}\\ \hline \end{array} \]

A csúszka bal fele a Föld belsejét (\(1\ \mathrm{m}\)-től a felszínig), a jobb fele a Föld körüli teret (a felszíntől a Nap távolságáig) fedi le, mindkét fele logaritmikus.

Kijelölhető HTML-táblázat