Newton gravitációs törvénye: interaktív szimuláció

Fedezd fel, hogyan függ a gravitációs erő a tömegektől és a távolságtól, logaritmikus csúszkákkal.

\[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \]

\(F\) – gravitációs erő, mértékegysége: \(\mathrm{N}\) \(\left(\mathrm{\frac{kg\,m}{s^2}}\right)\)
\(G\) – gravitációs állandó, \(G \approx 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{N\,m^2}{kg^2}}\)
\(m_1\) – az első test tömege, mértékegysége: \(\mathrm{kg}\)
\(m_2\) – a második test tömege, mértékegysége: \(\mathrm{kg}\)
\(r\) – a két test tömegközéppontja közötti távolság, mértékegysége: \(\mathrm{m}\)

Modell: a szimulációban a gravitációs erő kiszámításakor a testeket (bolygókat, csillagokat) pontszerűnek tekintjük, vagyis a teljes tömegüket a tömegközéppontjukban képzeljük el. Ez a csillagászati számításokban szokásos modell, mert a bolygók mérete a köztük lévő távolsághoz képest általában elhanyagolható. Gömbszimmetrikus testeknél a pontszerű közelítés a külső térben pontos eredményt ad, ha \(r\) a tömegközéppontok távolsága.

Gravitációs semleges pont: hol nulla az erők eredője?

A két test (\(m_1\) és \(m_2\)) közötti szakaszon, a vonalukban van egy \(m_{\mathrm{test}}\) tömegű test. Keressük a gravitációs semleges pontot, vagyis azt az \(r_{x_{m_1}}\) távolságot (az \(m_1\) tömegközéppontjától mérve), ahol a közbenső testre ható két gravitációs erő ellentétes irányú és egyenlő nagyságú, így az eredőjük nulla.

Függvénydefiníció:

\[ F_{\mathrm{Newton}}(m_1,m_2,r) = G\,\frac{m_1 m_2}{r^2} \]

Egyenlet (\(m_1\), \(m_2\), \(r\) konstans, \(r_{x_{m_1}}\) az ismeretlen):

\[ F_{\mathrm{Newton}}(m_1,m_{\mathrm{test}},r_{x_{m_1}}) = F_{\mathrm{Newton}}(m_{\mathrm{test}},m_2,r-r_{x_{m_1}}) \]

Megoldás:

\[ \begin{aligned} G\,\frac{m_1 m_{\mathrm{test}}}{r_{x_{m_1}}^2} &= G\,\frac{m_{\mathrm{test}} m_2}{(r-r_{x_{m_1}})^2}\\ \frac{m_1}{r_{x_{m_1}}^2} &= \frac{m_2}{(r-r_{x_{m_1}})^2} \qquad (G\text{ és }m_{\mathrm{test}}\text{ kiesik})\\ \frac{\sqrt{m_1}}{r_{x_{m_1}}} &= \frac{\sqrt{m_2}}{r-r_{x_{m_1}}} \qquad (0\lt r_{x_{m_1}}\lt r)\\ \sqrt{m_1}\,(r-r_{x_{m_1}}) &= \sqrt{m_2}\,r_{x_{m_1}}\\ r_{x_{m_1}} &= r\,\frac{\sqrt{m_1}}{\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2}} \end{aligned} \]

A két test között a két erő ellentétes irányú, ezért ott lehet nulla az eredő. A szakaszon kívül az erők egy irányba mutatnak, ott nem lehet nulla, így pontosan egy megoldás van.
Az \(m_{\mathrm{test}}\) kiesik, ezért a keresett hely nem függ a közbenső test tömegétől és méretétől (pontszerű modell). Ezért nincs hozzá csúszka, az ábrán kis fekete gömbként szerepel.
Ha \(m_1=m_2\), a pont a szakasz felezőpontja. Különben a kisebb tömegű testhez van közelebb.
A szimuláció a csúszkák értékeiből számolja ki és jeleníti meg az \(r_{x_{m_1}}\) értéket.

Szimuláció

Szemléltető ábra: a gömbök mérete és távolsága a logaritmikus értékkel arányos, ezért az ábra nem méretarányos. A kis fekete gömb a közbenső test (m_test), amely a gravitációs semleges pontban van: itt nulla a rá ható gravitációs erők eredője. A pont a két gömb középpontját összekötő szakaszon van, az m₁ középpontjától r_{x_m₁} távolságra; ezt a távolságot az alsó fekete szakasz jelöli. A kis gömb mérete nem befolyásolja a helyét.

Súgó: számok beírása és beillesztése

Beillesztés: a 5,974·1024 alakú szöveget a csúszka melletti Mantissza mezőbe (vagy a Kitevő mezőbe is) beillesztve a mantissza és a kitevő magától kitöltődik, a csúszka pedig beáll.
Más írásmódok: felismeri a 5,974·10^24, 5,974e24, 1,5·10−3 és a negatív kitevős alakokat is. A számjegyek közötti szóközt és a mértékegységet figyelmen kívül hagyja, tehát egy egész kimásolt táblázatsor is beilleszthető (pl. A Nap tömege 1,989·1030 kg).
Beírás: ha a teljes alakot begépeled a Mantissza mezőbe, és kilépsz a mezőből (Tab vagy Enter), ugyanúgy szétválasztja.
Tizedesjel: a Mantissza mezőben vessző a tizedesjel, de a tizedespontot is elfogadja.
Határon kívüli érték: a csúszka tartományánál kisebb vagy nagyobb számot is elfogad, a csúszka ilyenkor a szélén áll meg (a kitevő -100 és 100 között lehet).

Eredmény

Mentett hivatkozás (URL)

A hivatkozás az aktuális beállításokat tartalmazza (m1, m2, r – kg és m egységben); megnyitáskor ugyanezek az értékek töltődnek be.

Adatok

\[ \begin{array}{l r l} \hline \text{Mennyiség} & \text{Érték} & \text{Mértékegység}\\ \hline \text{A Föld tömege} & 5{,}974\cdot 10^{24} & \mathrm{kg}\\ \text{A Hold tömege} & 7{,}342\cdot 10^{22} & \mathrm{kg}\\ \text{A Nap tömege} & 1{,}989\cdot 10^{30} & \mathrm{kg}\\ \hline \text{Föld--Hold távolság} & 3{,}844\cdot 10^{8} & \mathrm{m}\\ \text{Föld--Nap távolság} & 1{,}496\cdot 10^{11} & \mathrm{m}\\ \hline \text{A Föld sugara} & 6{,}371\cdot 10^{6} & \mathrm{m}\\ \text{A Hold sugara} & 1{,}737\cdot 10^{6} & \mathrm{m}\\ \text{A Nap sugara} & 6{,}957\cdot 10^{8} & \mathrm{m}\\ \hline \text{A Föld sűrűsége} & 5{,}51\cdot 10^{3} & \mathrm{kg/m^3}\\ \text{A Hold sűrűsége} & 3{,}34\cdot 10^{3} & \mathrm{kg/m^3}\\ \text{A Nap sűrűsége (átlag)} & 1{,}41\cdot 10^{3} & \mathrm{kg/m^3}\\ \text{A vas sűrűsége} & 7{,}87\cdot 10^{3} & \mathrm{kg/m^3}\\ \hline \end{array} \]

Kijelölhető HTML-táblázat

A csúszkák tartománya

\[ \begin{array}{l l l l} \hline & \text{Minimum} & \text{Kezdőérték (középen)} & \text{Maximum}\\ \hline m_1,\ m_2 & 1\ \mathrm{g} = 10^{-3}\ \mathrm{kg} & 10\ \mathrm{kg} & \text{a Nap tömege: } 1{,}989\cdot10^{30}\ \mathrm{kg}\ \text{(a Föld tömege: } 5{,}974\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\text{)}\\ r & 1\ \mathrm{mm} = 10^{-3}\ \mathrm{m} & 1\ \mathrm{m} & \text{a Föld--Nap távolság: } 1{,}496\cdot10^{11}\ \mathrm{m}\\ \hline \end{array} \]

Kijelölhető HTML-táblázat