Gravitációs gyorsulás: interaktív szimuláció

Fedezd fel, hogyan függ a gravitációs gyorsulás a tömegtől és a távolságtól, logaritmikus csúszkákkal.

Newton gravitációs törvénye – az \(m\) tömegű test és az \(m_{\mathrm{dummy}}\) tömegű kis próbatest közötti erő:

\[ F_{\mathrm{Newton\ Gravity\ Acceleration}}(m,m_{\mathrm{dummy}},r) = G\,\frac{m\cdot m_{\mathrm{dummy}}}{r^2} \]

II. Newton-törvény – a dinamika alaptörvénye:

\[ F = m\cdot a \]

A próbatestre alkalmazva (\(F = m_{\mathrm{dummy}}\cdot a\)):

\[ \begin{aligned} m_{\mathrm{dummy}}\cdot a &= G\,\frac{m\cdot m_{\mathrm{dummy}}}{r^2}\\ a_{\mathrm{Newton\ Gravity\ Acceleration}} &= G\,\frac{m}{r^2} \qquad (m_{\mathrm{dummy}}\text{ kiesik}) \end{aligned} \]

\(F\) – gravitációs erő, mértékegysége: \(\mathrm{N}\) \(\left(\mathrm{\frac{kg\,m}{s^2}}\right)\)
\(a\) – gravitációs gyorsulás, mértékegysége: \(\mathrm{\frac{m}{s^2}}\)
\(G\) – gravitációs állandó, \(G \approx 6{,}674 \cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{N\,m^2}{kg^2}}\)
\(m\) – a gravitációt keltő test tömege, mértékegysége: \(\mathrm{kg}\)
\(m_{\mathrm{dummy}}\) – a kis próbatest tömege, mértékegysége: \(\mathrm{kg}\). Az eredményből kiesik, ezért nincs hozzá csúszka, az ábrán kis fekete gömbként szerepel.
\(r\) – a próbatest és a gravitációt keltő test tömegközéppontja közötti távolság, mértékegysége: \(\mathrm{m}\)

Modell: a gravitációt keltő testet pontszerűnek tekintjük, vagyis a teljes tömegét a tömegközéppontjában képzeljük el. Gömbszimmetrikus test külső terében ez pontos eredményt ad. A szimulációban a test sugarát nem adjuk meg, ezért a képlet a pontszerű tömegre vonatkozik, akkor is, ha az \(r\) kisebb, mint egy valódi test sugara.

Szimuláció

Szemléltető ábra: a gömb mérete és a távolság a logaritmikus értékkel arányos, ezért az ábra nem méretarányos. A piros nyíl a kis fekete gömbnél (a próbatestnél) kezdődik, és a gravitációs gyorsulás irányába, a tömeg középpontja felé mutat. Hossza a gravitációs gyorsulás logaritmusával nő: a legkisebb értéknél csak a nyílhegy látszik, az alapértéknél (a Föld tömege és a Föld sugara, \(a\approx 9{,}8\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\)) a nyíl kb. félig ér el a tömeg középpontjáig. Ha a nyíl elérné a tömeg középpontját, tovább nem nő.

Súgó: számok beírása és beillesztése

Beillesztés: a 5,974·1024 alakú szöveget a csúszka melletti Mantissza mezőbe (vagy a Kitevő mezőbe is) beillesztve a mantissza és a kitevő magától kitöltődik, a csúszka pedig beáll.
Más írásmódok: felismeri a 5,974·10^24, 5,974e24, 1,5·10−3 és a negatív kitevős alakokat is. A számjegyek közötti szóközt és a mértékegységet figyelmen kívül hagyja, tehát egy egész kimásolt táblázatsor is beilleszthető (pl. A Nap tömege 1,989·1030 kg).
Beírás: ha a teljes alakot begépeled a Mantissza mezőbe, és kilépsz a mezőből (Tab vagy Enter), ugyanúgy szétválasztja.
Tizedesjel: a Mantissza mezőben vessző a tizedesjel, de a tizedespontot is elfogadja.
Határon kívüli érték: a csúszka tartományánál kisebb vagy nagyobb számot is elfogad, a csúszka ilyenkor a szélén áll meg (a kitevő -100 és 100 között lehet).

Eredmény

Mentett hivatkozás (URL)

A hivatkozás az aktuális beállításokat tartalmazza (m, r – kg és m egységben); megnyitáskor ugyanezek az értékek töltődnek be.

Mennyire pontos a Föld felszíni gravitációs gyorsulása?

Alapértéknél (a Föld tömege és a Föld sugara) a szimuláció \(a \approx 9{,}823\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\) értéket ad. Ez jól egyezik a Föld felszínén mért gravitációs gyorsulással, és nem véletlen, a képlet valóban ezt adja vissza.

Standard nehézségi gyorsulás: \(9{,}80665\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\). Ezt nemzetközi megállapodás rögzíti, és a mért értékek is közel vannak hozzá.
A valódi érték a helytől függ: az Egyenlítőnél kb. \(9{,}78\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\), a sarkokon kb. \(9{,}83\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\). A Föld gömbtől eltérő alakja (lapultsága) és forgása okozza az eltérést.
A modell egyszerűsítései: a képlet gömbszimmetrikus, nem forgó Földet feltételez, és a Föld közepes sugarát (\(6371\ \mathrm{km}\)) használja. Az eredmény ezért a két szélső érték közé esik, és a Föld felszínére átlagolt értéknek felel meg.
Az eredmény nincs hangolva: a \(G\) és a Föld tömegének tankönyvi értékeiből jön ki, külön-külön véve őket. A szorzatuk \(G\cdot m \approx 3{,}987\cdot10^{14}\ \mathrm{\frac{m^3}{s^2}}\), a pontosan mért érték \(3{,}986004\cdot10^{14}\ \mathrm{\frac{m^3}{s^2}}\), vagyis a kettő kb. \(0{,}03\,\%\)-kal tér el. Ennek oka, hogy a táblázat tömege (\(5{,}974\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\)) kissé nagyobb a ma elfogadott \(5{,}972\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}\)-nál. A pontos szorzattal és \(6371\ \mathrm{km}\)-rel \(9{,}820\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\) jönne ki.
Miért pontos a szorzat? A \(G\cdot m\) szorzatot például műholdak pályájából sokkal pontosabban meg lehet határozni, mint a \(G\)-t és az \(m\)-et külön-külön.

Adatok

\[ \begin{array}{l r l} \hline \text{Mennyiség} & \text{Érték} & \text{Mértékegység}\\ \hline \text{A Föld tömege} & 5{,}974\cdot 10^{24} & \mathrm{kg}\\ \text{A Hold tömege} & 7{,}342\cdot 10^{22} & \mathrm{kg}\\ \text{A Nap tömege} & 1{,}989\cdot 10^{30} & \mathrm{kg}\\ \hline \text{Föld--Hold távolság} & 3{,}844\cdot 10^{8} & \mathrm{m}\\ \text{Föld--Nap távolság} & 1{,}496\cdot 10^{11} & \mathrm{m}\\ \hline \text{A Föld sugara} & 6{,}371\cdot 10^{6} & \mathrm{m}\\ \text{A Hold sugara} & 1{,}737\cdot 10^{6} & \mathrm{m}\\ \text{A Nap sugara} & 6{,}957\cdot 10^{8} & \mathrm{m}\\ \hline \end{array} \]

Kijelölhető HTML-táblázat

A csúszkák tartománya

\[ \begin{array}{l l l l} \hline & \text{Minimum} & \text{Kezdőérték (középen)} & \text{Maximum}\\ \hline m & 1\ \mathrm{kg} & \text{a Föld tömege: } 5{,}974\cdot10^{24}\ \mathrm{kg} & \text{a Nap tömege: } 1{,}989\cdot10^{30}\ \mathrm{kg}\\ r & 1\ \mathrm{m} & \text{a Föld sugara: } 6{,}371\cdot10^{6}\ \mathrm{m} & \text{a Föld--Nap távolság: } 1{,}496\cdot10^{11}\ \mathrm{m}\\ \hline \end{array} \]

Kijelölhető HTML-táblázat