Interaktív szemléltetés és két bizonyítás — tükrözéses és analitikus (deriválásos) módszerrel
A fénysugár az egyik fókuszpontból (F1) indul, és minden faltalálkozás után a másik fókuszponton (F2) halad át — az ellipszis tükörtulajdonsága miatt. A szög a főtengellyel pattanásonként egyre kisebb lesz.
Húzd a csúszkát: P mozog az ellipszisen. A lila szaggatott vonal a normális (merőleges az érintőre P-ben). A narancs PF1 sugár és a narancs α₁ ív mutatja a normális és PF1 szögét; a kék PF2 sugár és a kék α₂ ív a normális és PF2 szögét. A zöld egyenes F2 tükörképét (F2') köti össze F1-gyel — mivel mindig áthalad P-n, bizonyítja, hogy α₁ = α₂ minden P-re, azaz teljesül a visszaverődés törvénye.
Az ellipszis azon pontok halmaza a síkban, amelyeknek két rögzített ponttól (a fókuszoktól, \(F_1\) és \(F_2\)) mért távolságösszege állandó:
\[ |PF_1| + |PF_2| = 2a. \]Jelölések (lásd az 1. ábrát):
Ezekkel a jelölésekkel az ellipszis egyenlete:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. \]Ez nem külön feltevés, hanem magából a definícióból következik. Tekintsük az ellipszis \(B\) pontját a kistengely tetején (az 1. ábrán). Mivel \(B\) a tengelyre szimmetrikusan helyezkedik el, ugyanolyan távol van mindkét fókusztól:
\[ |BF_1| = |BF_2|. \]Az ellipszis definíciója szerint \(|BF_1|+|BF_2| = 2a\), és mivel a két tag egyenlő, mindkettő \(a\):
\[ |BF_2| = a. \]Az \(O\), \(F_2\), \(B\) pontok derékszögű háromszöget alkotnak, mert \(OF_2\) a vízszintes, \(OB\) a függőleges tengelyen fekszik, tehát a szög \(O\)-nál derékszög. A befogók hossza \(c\) (=\(OF_2\)) és \(b\) (=\(OB\)), az átfogó pedig \(a\) (=\(BF_2\)). Pitagorasz-tétellel:
\[ c^2 + b^2 = a^2 \quad\Longrightarrow\quad c^2 = a^2 - b^2. \]Ez az összefüggés tehát egyenes következménye annak, hogy a fókuszoktól mért távolságösszeg állandó — semmi más nincs mögötte, mint egy egyszerű derékszögű háromszög.
Legyen \(P(x_0,y_0)\) az ellipszis egy tetszőleges pontja, és jelölje \(r_1 = |PF_1|\), \(r_2 = |PF_2|\) a két fókuszsugarat. Ezekre a következő zárt képlet érvényes (bevezetve az \(e = c/a\) excentricitást):
\[ r_1 = a + ex_0, \qquad r_2 = a - ex_0. \]Egy \(F(x,y)\) kétváltozós függvény gradiense a parciális deriváltakból képzett vektor:
\[ \nabla F = \left(\frac{\partial F}{\partial x},\ \frac{\partial F}{\partial y}\right). \]Kulcstulajdonsága: merőleges arra a szintvonalra, amely mentén \(F\) állandó (hiszen a szintvonal mentén haladva \(F\) nem változik, a gradiens viszont mindig a legmeredekebb változás irányába mutat — ez a kettő csak úgy fér össze, ha egymásra merőlegesek).
Az ellipszis épp az \(F(x,y) = \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-1 = 0\) szintvonala. A parciális deriváltak:
\[ \frac{\partial F}{\partial x} = \frac{2x}{a^2}, \qquad \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{2y}{b^2}. \]A \(P(x_0,y_0)\) pontban tehát a gradiens (a konstans szorzót elhagyva) merőleges az ellipszisre, ez a normálvektor:
\[ \mathbf{n} = \left(\frac{x_0}{a^2},\ \frac{y_0}{b^2}\right). \]Mivel az érintő merőleges a normálisra, egyenlete (a normálvektorral vett skaláris szorzat nulla):
\[ \frac{x_0}{a^2}(x-x_0) + \frac{y_0}{b^2}(y-y_0) = 0 \ \Longrightarrow\ \frac{x\,x_0}{a^2} + \frac{y\,y_0}{b^2} = 1. \]Azt akarjuk megmutatni, hogy a normálvektor egyenlő szöget zár be a \(\vec{PF_1}\) és \(\vec{PF_2}\) vektorokkal. Írjuk fel ezeket:
\[ \vec{PF_1} = (-c-x_0,\ -y_0), \qquad \vec{PF_2} = (c-x_0,\ -y_0). \]1. lépés — skaláris szorzat a normálvektorral. Kihasználva, hogy \(P\) az ellipszisen van (\(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1\)):
\[ \vec{PF_1}\cdot \mathbf{n} = -\frac{cx_0}{a^2} - 1, \qquad \vec{PF_2}\cdot \mathbf{n} = \frac{cx_0}{a^2} - 1. \]2. lépés — osszunk el a fókuszsugár hosszával. A 3.3 pontból \(r_1=\dfrac{a^2+cx_0}{a}\) és \(r_2=\dfrac{a^2-cx_0}{a}\), ezért:
\[ \frac{\vec{PF_1}\cdot \mathbf{n}}{r_1} = \frac{-\dfrac{a^2+cx_0}{a^2}}{\dfrac{a^2+cx_0}{a}} = -\frac1a, \qquad \frac{\vec{PF_2}\cdot \mathbf{n}}{r_2} = \frac{-\dfrac{a^2-cx_0}{a^2}}{\dfrac{a^2-cx_0}{a}} = -\frac1a. \]Mivel \(\cos\theta_i = \dfrac{\vec{PF_i}\cdot\mathbf n}{|\vec{PF_i}|\,|\mathbf n|}\) éppen a \(\vec{PF_i}\) és a normális közötti szög koszinusza, az egyenlőségből \(\cos\theta_1=\cos\theta_2\), tehát \(\theta_1=\theta_2\): a normális felezi a \(\angle F_1PF_2\) szöget.
Mivel az érintő merőleges a normálisra, az érintővel bezárt szögek is egyenlők:
\[ \angle(\vec{PF_1}, \text{érintő}) = \angle(\vec{PF_2}, \text{érintő}). \]Ez pontosan a fényvisszaverődés törvénye (beesési szög = visszaverődési szög, a normálistól mérve). Ha tehát egy fénysugár \(F_1\)-ből indul és az ellipszis \(P\) pontjában, mint tükörfelületen verődik vissza, a visszavert sugár szükségképpen áthalad \(F_2\)-n. \(\blacksquare\)